Sr Examen
Ecuación diferencial dt*(x^2+x)+dx*t^(2*t)=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2*t d
x (t) + t *--(x(t)) + x(t) = 0
dt
$$t^{2 t} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} = 0$$
t^(2*t)*x' + x^2 + x = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$t^{2 t} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - t^{- 2 t}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - t^{- 2 t}$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - dt t^{- 2 t}$$
o
$$\frac{dx}{\left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - dt t^{- 2 t}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{x \left(x + 1\right)}\, dx = \int \left(- t^{- 2 t}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} = Const - \int t^{- 2 t}\, dt$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = - \frac{C_{1}}{C_{1} - e^{\int t^{- 2 t}\, dt}}$$
$$t^{2 t} \frac{d}{d t} x{\left(t \right)} + x^{2}{\left(t \right)} + x{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = - t^{- 2 t}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = \left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$\left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - t^{- 2 t}$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{\left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - dt t^{- 2 t}$$
o
$$\frac{dx}{\left(x{\left(t \right)} + 1\right) x{\left(t \right)}} = - dt t^{- 2 t}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{x \left(x + 1\right)}\, dx = \int \left(- t^{- 2 t}\right)\, dt$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)} = Const - \int t^{- 2 t}\, dt$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = - \frac{C_{1}}{C_{1} - e^{\int t^{- 2 t}\, dt}}$$
Respuesta
[src]
-C1
x(t) = -----------------
/
|
| -2*t
| t dt
|
/
C1 - e
$$x{\left(t \right)} = - \frac{C_{1}}{C_{1} - e^{\int t^{- 2 t}\, dt}}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(t, x):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)