Sr Examen
Ecuación diferencial y'=((2y+3)/(4x+5))^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d (3 + 2*y(x))
--(y(x)) = -------------
dx 2
(5 + 4*x)
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
y' = (2*y + 3)^2/(4*x + 5)^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}} = - \frac{1}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}} = - \frac{dx}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
o
$$- \frac{dy}{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}} = - \frac{dx}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\left(2 y + 3\right)^{2}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\left(4 x + 5\right)^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{4 y + 6} = Const + \frac{1}{16 x + 20}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{48 C_{1} x + 60 C_{1} + 8 x + 7}{2 \left(16 C_{1} x + 20 C_{1} - 1\right)}$$
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}} = - \frac{1}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}} = - \frac{dx}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
o
$$- \frac{dy}{\left(2 y{\left(x \right)} + 3\right)^{2}} = - \frac{dx}{\left(4 x + 5\right)^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{\left(2 y + 3\right)^{2}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\left(4 x + 5\right)^{2}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{4 y + 6} = Const + \frac{1}{16 x + 20}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{48 C_{1} x + 60 C_{1} + 8 x + 7}{2 \left(16 C_{1} x + 20 C_{1} - 1\right)}$$
Respuesta
[src]
-(7 + 8*x + 60*C1 + 48*C1*x)
y(x) = -----------------------------
2*(-1 + 20*C1 + 16*C1*x)
$$y{\left(x \right)} = - \frac{48 C_{1} x + 60 C_{1} + 8 x + 7}{2 \left(16 C_{1} x + 20 C_{1} - 1\right)}$$
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral