Sr Examen
Ecuación diferencial xy^n+y'+xy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
n d
x*y (x) + x*y(x) + --(y(x)) = 0
dx
$$x y{\left(x \right)} + x y^{n}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y + x*y^n + y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} + x y^{n}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y + y^{n}}\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\begin{cases} \frac{n \log{\left(y \right)}}{n - 1} - \frac{\log{\left(y + y^{n} \right)}}{n - 1} & \text{for}\: n \neq 1 \\\frac{\log{\left(y \right)}}{2} & \text{otherwise} \end{cases} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \begin{cases} C_{1} e^{- x^{2}} & \text{for}\: n = 1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$
$$x y{\left(x \right)} + x y^{n}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}} = - x$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}} = - dx x$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)} + y^{n}{\left(x \right)}} = - dx x$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y + y^{n}}\, dy = \int \left(- x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\begin{cases} \frac{n \log{\left(y \right)}}{n - 1} - \frac{\log{\left(y + y^{n} \right)}}{n - 1} & \text{for}\: n \neq 1 \\\frac{\log{\left(y \right)}}{2} & \text{otherwise} \end{cases} = Const - \frac{x^{2}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \begin{cases} C_{1} e^{- x^{2}} & \text{for}\: n = 1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Respuesta
[src]
/ 2
| -x
y(x) =
$$y{\left(x \right)} = \begin{cases} C_{1} e^{- x^{2}} & \text{for}\: n = 1 \\\text{NaN} & \text{otherwise} \end{cases}$$
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral