Ecuación diferencial 5*y-2*y'-y''=e^(2*x)*x

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$-1$$
Recibimos la ecuación:
$$- 5 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - x e^{2 x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 2$$
$$q = -5$$
$$s = x e^{2 x}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k - 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 + \sqrt{6}$$
$$k_{2} = - \sqrt{6} - 1$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 + \sqrt{6}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \sqrt{6} - 1\right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + \sqrt{6}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \sqrt{6} - 1\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 + sqrt(6))) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-sqrt(6) - 1)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = - x e^{2 x}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 + \sqrt{6}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \sqrt{6} - 1\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + \sqrt{6}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \sqrt{6} - 1\right)} = - x e^{2 x}$$
o
$$e^{x \left(-1 + \sqrt{6}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \sqrt{6} - 1\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 + \sqrt{6}\right) e^{x \left(-1 + \sqrt{6}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \sqrt{6} - 1\right) e^{x \left(- \sqrt{6} - 1\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - x e^{2 x}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{6} x e^{x \left(3 - \sqrt{6}\right)}}{12}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{6} x e^{x \left(\sqrt{6} + 3\right)}}{12}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{\sqrt{6} x e^{x \left(3 - \sqrt{6}\right)}}{12}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{\sqrt{6} x e^{x \left(\sqrt{6} + 3\right)}}{12}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(- 180 \sqrt{6} x + 432 x - 72 + 36 \sqrt{6}\right) e^{x \left(3 - \sqrt{6}\right)}}{11664 - 4752 \sqrt{6}}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{\left(432 x + 180 \sqrt{6} x - 36 \sqrt{6} - 72\right) e^{x \left(\sqrt{6} + 3\right)}}{4752 \sqrt{6} + 11664}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + \sqrt{6}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \sqrt{6} - 1\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{\sqrt{6} x} + C_{4} e^{- x} e^{- \sqrt{6} x} - \frac{180 \sqrt{6} x e^{2 x}}{11664 - 4752 \sqrt{6}} + \frac{432 x e^{2 x}}{4752 \sqrt{6} + 11664} + \frac{180 \sqrt{6} x e^{2 x}}{4752 \sqrt{6} + 11664} + \frac{432 x e^{2 x}}{11664 - 4752 \sqrt{6}} - \frac{72 e^{2 x}}{11664 - 4752 \sqrt{6}} - \frac{36 \sqrt{6} e^{2 x}}{4752 \sqrt{6} + 11664} - \frac{72 e^{2 x}}{4752 \sqrt{6} + 11664} + \frac{36 \sqrt{6} e^{2 x}}{11664 - 4752 \sqrt{6}}$$
donde C3 y C4 hay son constantes