Sr Examen
Ecuación diferencial 5y"-6y'+5y=e^((3x)/5)cosx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
3*x
2 ---
d d 5
- 6*--(y(x)) + 5*---(y(x)) + 5*y(x) = cos(x)*e
dx 2
dx
$$5 y{\left(x \right)} - 6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 5 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}$$
5*y - 6*y' + 5*y'' = exp(3*x/5)*cos(x)
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$5$$
Recibimos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} - \frac{6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{5} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = - \frac{6}{5}$$
$$q = 1$$
$$s = - \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{6 k}{5} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}$$
$$k_{2} = \frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(3/5 - 4*i/5)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(3/5 + 4*i/5)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
o
$$e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right) e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right) e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i e^{\frac{4 i x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{8}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{i e^{- \frac{4 i x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i e^{\frac{4 i x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{8}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i e^{- \frac{4 i x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{5 e^{\frac{9 i x}{5}}}{144} - \frac{5 e^{- \frac{i x}{5}}}{16}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{5 e^{\frac{i x}{5}}}{16} + \frac{5 e^{- \frac{9 i x}{5}}}{144}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{3 x}{5}} e^{- \frac{4 i x}{5}} + C_{4} e^{\frac{3 x}{5}} e^{\frac{4 i x}{5}} - \frac{5 e^{\frac{3 x}{5}} e^{i x}}{18} - \frac{5 e^{\frac{3 x}{5}} e^{- i x}}{18}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$5$$
Recibimos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} - \frac{6 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{5} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = - \frac{6}{5}$$
$$q = 1$$
$$s = - \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{6 k}{5} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}$$
$$k_{2} = \frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} + C_{2} e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(3/5 - 4*i/5)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(3/5 + 4*i/5)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
o
$$e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right) e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right) e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{5}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{i e^{\frac{4 i x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{8}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{i e^{- \frac{4 i x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{8}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{i e^{\frac{4 i x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{8}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{i e^{- \frac{4 i x}{5}} \cos{\left(x \right)}}{8}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{5 e^{\frac{9 i x}{5}}}{144} - \frac{5 e^{- \frac{i x}{5}}}{16}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{5 e^{\frac{i x}{5}}}{16} + \frac{5 e^{- \frac{9 i x}{5}}}{144}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{3}{5} - \frac{4 i}{5}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(\frac{3}{5} + \frac{4 i}{5}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{3 x}{5}} e^{- \frac{4 i x}{5}} + C_{4} e^{\frac{3 x}{5}} e^{\frac{4 i x}{5}} - \frac{5 e^{\frac{3 x}{5}} e^{i x}}{18} - \frac{5 e^{\frac{3 x}{5}} e^{- i x}}{18}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
3*x
---
/ 5*cos(x) /4*x\ /4*x\\ 5
y(x) = |- -------- + C1*sin|---| + C2*cos|---||*e
\ 9 \ 5 / \ 5 //
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{4 x}{5} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{4 x}{5} \right)} - \frac{5 \cos{\left(x \right)}}{9}\right) e^{\frac{3 x}{5}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral