Sr Examen
Ecuación diferencial y''-7y'+6y=5sin2x+2cos2x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 7*--(y(x)) + 6*y(x) + ---(y(x)) = 2*cos(2*x) + 5*sin(2*x)
dx 2
dx
$$6 y{\left(x \right)} - 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
6*y - 7*y' + y'' = 5*sin(2*x) + 2*cos(2*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$6 y{\left(x \right)} - 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -7$$
$$q = 6$$
$$s = - 5 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 7 k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1$$
$$k_{2} = 6$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{6 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{6 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(6*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{6 x} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$e^{6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$6 e^{6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{- x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{- 6 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{- x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{- 6 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{25} + \frac{12 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{25}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{13 e^{- 6 x} \sin{\left(2 x \right)}}{100} - \frac{11 e^{- 6 x} \cos{\left(2 x \right)}}{100}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{6 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} + C_{4} e^{6 x} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{100} + \frac{37 \cos{\left(2 x \right)}}{100}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$6 y{\left(x \right)} - 7 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -7$$
$$q = 6$$
$$s = - 5 \sin{\left(2 x \right)} - 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 7 k + 6 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 1$$
$$k_{2} = 6$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces no tienen una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{k_{1} x} + C_{2} e^{k_{2} x}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{6 x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{6 x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(6*x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{6 x} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$e^{6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$6 e^{6 x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 5 \sin{\left(2 x \right)} + 2 \cos{\left(2 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{- x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{- 6 x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{- x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\sin{\left(2 x \right)} + \frac{2 \cos{\left(2 x \right)}}{5}\right) e^{- 6 x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{e^{- x} \sin{\left(2 x \right)}}{25} + \frac{12 e^{- x} \cos{\left(2 x \right)}}{25}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{13 e^{- 6 x} \sin{\left(2 x \right)}}{100} - \frac{11 e^{- 6 x} \cos{\left(2 x \right)}}{100}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{6 x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{x} + C_{4} e^{6 x} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{100} + \frac{37 \cos{\left(2 x \right)}}{100}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
9*sin(2*x) 37*cos(2*x) x 6*x
y(x) = - ---------- + ----------- + C1*e + C2*e
100 100
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{6 x} - \frac{9 \sin{\left(2 x \right)}}{100} + \frac{37 \cos{\left(2 x \right)}}{100}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral