Ecuación diferencial dy/dx=-((12x+5y-9)/(5x+2y+3))

Tenemos la ecuación:
$$- \frac{- 12 x - 5 y{\left(x \right)} + 9}{5 x + 2 y{\left(x \right)} + 3} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 81}{x + 33}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \left(x + 33\right) u{\left(x \right)} + 81$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(x + 33\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$\frac{12 x}{5 x + 2 \left(x + 33\right) u{\left(x \right)} + 165} + \left(x + 33\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{5 \left(\left(x + 33\right) u{\left(x \right)} + 81\right)}{5 x + 2 \left(x + 33\right) u{\left(x \right)} + 165} + u{\left(x \right)} - \frac{9}{5 x + 2 \left(x + 33\right) u{\left(x \right)} + 165} = 0$$
o
$$\left(x + 33\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} + \frac{2 u^{2}{\left(x \right)} + 10 u{\left(x \right)} + 12}{2 u{\left(x \right)} + 5} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x + 33$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{2 u^{2}{\left(x \right)} + 10 u{\left(x \right)} + 12}{2 u{\left(x \right)} + 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x + 33$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = - \frac{2 u^{2}{\left(x \right)} + 10 u{\left(x \right)} + 12}{\left(x + 33\right) \left(2 u{\left(x \right)} + 5\right)}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{2 u^{2}{\left(x \right)} + 10 u{\left(x \right)} + 12}{2 u{\left(x \right)} + 5}$$
obtendremos
$$\frac{\left(2 u{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 6\right)} = - \frac{1}{x + 33}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \left(2 u{\left(x \right)} + 5\right) \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 6\right)} = - \frac{dx}{x + 33}$$
o
$$\frac{du \left(2 u{\left(x \right)} + 5\right)}{2 \left(u^{2}{\left(x \right)} + 5 u{\left(x \right)} + 6\right)} = - \frac{dx}{x + 33}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{2 u + 5}{2 \left(u^{2} + 5 u + 6\right)}\, du = \int \left(- \frac{1}{x + 33}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(u^{2} + 5 u + 6 \right)}}{2} = Const - \log{\left(x + 33 \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

hacemos cambio inverso
$$u{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - 81}{x + 33}$$
$$\frac{\log{\left(6 + \frac{5 \left(y{\left(x \right)} - 81\right)}{x + 33} + \frac{\left(y{\left(x \right)} - 81\right)^{2}}{\left(x + 33\right)^{2}} \right)}}{2} = Const - \log{\left(x + 33 \right)}$$