Sr Examen
Ecuación diferencial 3*y''-2*y'+11y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
- 2*--(y(t)) + 3*---(y(t)) + 11*y(t) = 0
dt 2
dt
$$11 y{\left(t \right)} - 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + 3 \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 0$$
11*y - 2*y' + 3*y'' = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{11 y{\left(t \right)}}{3} - \frac{2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = - \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{11}{3}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{2 k}{3} + \frac{11}{3} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
$$k_{2} = \frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + C_{2} e^{t \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$
$$3$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{11 y{\left(t \right)}}{3} - \frac{2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)}}{3} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
$$p = - \frac{2}{3}$$
$$q = \frac{11}{3}$$
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - \frac{2 k}{3} + \frac{11}{3} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = \frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
$$k_{2} = \frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{2} t} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} e^{t \left(\frac{1}{3} - \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)} + C_{2} e^{t \left(\frac{1}{3} + \frac{4 \sqrt{2} i}{3}\right)}$$
Respuesta
[src]
t
/ / ___\ / ___\\ -
| |4*t*\/ 2 | |4*t*\/ 2 || 3
y(t) = |C1*sin|---------| + C2*cos|---------||*e
\ \ 3 / \ 3 //
$$y{\left(t \right)} = \left(C_{1} \sin{\left(\frac{4 \sqrt{2} t}{3} \right)} + C_{2} \cos{\left(\frac{4 \sqrt{2} t}{3} \right)}\right) e^{\frac{t}{3}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary