Ecuación diferencial (sqrt(x*y)+sqrt(x))y'-y=0

Tenemos la ecuación:
$$\left(\sqrt{x} \sqrt{y{\left(x \right)}} + \sqrt{x}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}} + 1}$$
obtendremos
$$- \frac{\left(\sqrt{y{\left(x \right)}} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \left(\sqrt{y{\left(x \right)}} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$
o
$$- \frac{dy \left(\sqrt{y{\left(x \right)}} + 1\right)}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sqrt{x}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{\sqrt{y} + 1}{y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- 2 \sqrt{y} - \log{\left(y \right)} = Const - 2 \sqrt{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - 2 \sqrt{x} + 2 \sqrt{y{\left(x \right)}} + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = C_{1}$$