Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(1+y^2)dx=xydy
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
___________
/ 2 d
\/ 1 + y (x) = x*--(y(x))*y(x)
dx
$$\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1} = x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
sqrt(y^2 + 1) = x*y*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{y^{2} + 1} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 1}$$
$$x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}}{y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{y^{2}{\left(x \right)} + 1}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{y}{\sqrt{y^{2} + 1}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{y^{2} + 1} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 1}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 1}$$
Respuesta
[src]
__________________________________
/ 2 2
y(x) = -\/ -1 + C1 + log (x) + 2*C1*log(x)
$$y{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 1}$$
__________________________________
/ 2 2
y(x) = \/ -1 + C1 + log (x) + 2*C1*log(x)
$$y{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1}^{2} + 2 C_{1} \log{\left(x \right)} + \log{\left(x \right)}^{2} - 1}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
separable reduced Integral