Sr Examen
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-
¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y'=(x^2+x*y+y^2)/x^2
- Ecuación x*y+y'=x^3*y^3
- Ecuación 2*x*y/(x^2+1)+y'=2*x^2/(x^2+1)
- Ecuación x^2*y'=(x+y)*y
- Integral de d{x}:
- 2*x^2/(x^2+1)
- Gráfico de la función y =:
-
2*x^2/(x^2+1)
-
Expresiones idénticas
- dos *x*y/(x^ dos + uno)+y'= dos *x^ dos /(x^ dos + uno)
- 2 multiplicar por x multiplicar por y dividir por (x al cuadrado más 1) más y signo de prima para el primer (1) orden es igual a 2 multiplicar por x al cuadrado dividir por (x al cuadrado más 1)
- dos multiplicar por x multiplicar por y dividir por (x en el grado dos más uno) más y signo de prima para el primer (1) orden es igual a dos multiplicar por x en el grado dos dividir por (x en el grado dos más uno)
- 2*x*y/(x2+1)+y'=2*x2/(x2+1)
- 2*x*y/x2+1+y'=2*x2/x2+1
- 2*x*y/(x²+1)+y'=2*x²/(x²+1)
- 2*x*y/(x en el grado 2+1)+y'=2*x en el grado 2/(x en el grado 2+1)
- 2xy/(x^2+1)+y'=2x^2/(x^2+1)
- 2xy/(x2+1)+y'=2x2/(x2+1)
- 2xy/x2+1+y'=2x2/x2+1
- 2xy/x^2+1+y'=2x^2/x^2+1
- 2*x*y dividir por (x^2+1)+y'=2*x^2 dividir por (x^2+1)
-
Expresiones semejantes
- 2*x*y/(x^2+1)-y'=2*x^2/(x^2+1)
- 2*x*y/(x^2-1)+y'=2*x^2/(x^2+1)
- 2*x*y/(x^2+1)+y'=2*x^2/(x^2-1)
Ecuación diferencial 2*x*y/(x^2+1)+y'=2*x^2/(x^2+1)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
2*x*y(x) d 2*x
-------- + --(y(x)) = ------
2 dx 2
1 + x 1 + x
$$\frac{2 x y{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}$$
2*x*y/(x^2 + 1) + y' = 2*x^2/(x^2 + 1)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 x y{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
y
$$Q{\left(x \right)} = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx = \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{x^{2} + 1}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{x^{2} + 1}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C}{x^{2} + 1}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = 2 x^{2}$$
Es decir, C(x) =
$$\int 2 x^{2}\, dx = \frac{2 x^{3}}{3} + Const$$
sustituimos C(x) en
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{\frac{2 x^{3}}{3} + Const}{x^{2} + 1}$$
$$\frac{2 x y{\left(x \right)}}{x^{2} + 1} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = Q(x)
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$
y
$$Q{\left(x \right)} = \frac{2 x^{2}}{x^{2} + 1}$$
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y' + P(x)y = 0
con variables separables
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{2 x}{x^{2} + 1}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{2 x}{x^{2} + 1}\, dx = \log{\left(x^{2} + 1 \right)} + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1}}}{x^{2} + 1}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2}}}{x^{2} + 1}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C}{x^{2} + 1}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y' + P(x)y = Q(x)
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Ahora consideremos que C es la función de x
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
Y lo sustituimos en la ecuación inicial.
Usando las reglas
- de diferenciación del producto;
- de la derivada de una función compuesta,
hallamos que
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = Q{\left(x \right)} e^{\int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Sustituimos Q(x) y P(x) en esta ecuación.
Recibimos la ecuación diferencial más simple para C(x):
$$\frac{d}{d x} C{\left(x \right)} = 2 x^{2}$$
Es decir, C(x) =
$$\int 2 x^{2}\, dx = \frac{2 x^{3}}{3} + Const$$
sustituimos C(x) en
$$y = \frac{C{\left(x \right)}}{x^{2} + 1}$$
y recibimos la respuesta definitiva para y(x):
$$\frac{\frac{2 x^{3}}{3} + Const}{x^{2} + 1}$$
Respuesta
[src]
3
2*x
C1 + ----
3
y(x) = ---------
2
1 + x
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + \frac{2 x^{3}}{3}}{x^{2} + 1}$$
Clasificación
1st exact
1st linear
Bernoulli
almost linear
1st power series
lie group
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral