Sr Examen
Ecuación diferencial dx*y^2-dy*x*y=dy*x^2*y
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2 d 2 d
y (x) - x*--(y(x))*y(x) = x *--(y(x))*y(x)
dx dx
$$- x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
-x*y*y' + y^2 = x^2*y*y'
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{x \left(x + 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{x \left(x + 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{1}{x \left(x + 1\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x}{x + 1}$$
$$- x^{2} y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - x y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{1}{x \left(x + 1\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{x \left(x + 1\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx}{x \left(x + 1\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{1}{x \left(x + 1\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \log{\left(x \right)} - \log{\left(x + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} x}{x + 1}$$
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral