Sr Examen
Ecuación diferencial p*y'+q*y+y''=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
p*--(y(x)) + q*y(x) + ---(y(x)) = 0
dx 2
dx
$$p \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + q y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
p*y' + q*y + y'' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$p \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + q y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{p}{2} - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{p}{2} + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{p}{2} - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{p}{2} + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}\right)}$$
$$p \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + q y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = 0,
donde
True
True
Se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + k p + q = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{p}{2} - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}$$
$$k_{2} = - \frac{p}{2} + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{p}{2} - \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{p}{2} + \frac{\sqrt{p^{2} - 4 q}}{2}\right)}$$
Respuesta
[src]
/ __________\ / __________ \
| / 2 | | / 2 |
x*\-p - \/ p - 4*q / x*\\/ p - 4*q - p/
---------------------- ---------------------
2 2
y(x) = C1*e + C2*e
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{x \left(- p - \sqrt{p^{2} - 4 q}\right)}{2}} + C_{2} e^{\frac{x \left(- p + \sqrt{p^{2} - 4 q}\right)}{2}}$$
Clasificación
nth linear constant coeff homogeneous
2nd power series ordinary