Sr Examen
Ecuación diferencial sqrt(1−3𝑥^2)*𝑦′+𝑥*𝑦^3=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
__________
3 / 2 d
x*y (x) + \/ 1 - 3*x *--(y(x)) = 0
dx
$$x y^{3}{\left(x \right)} + \sqrt{1 - 3 x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
x*y^3 + sqrt(1 - 3*x^2)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x y^{3}{\left(x \right)} + \sqrt{1 - 3 x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 y^{2}} = Const + \frac{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + \sqrt{1 - 3 x^{2}}}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + \sqrt{1 - 3 x^{2}}}}}{2}$$
$$x y^{3}{\left(x \right)} + \sqrt{1 - 3 x^{2}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{3}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{3}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$
o
$$\frac{dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{3}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{2 y^{2}} = Const + \frac{\sqrt{1 - 3 x^{2}}}{3}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + \sqrt{1 - 3 x^{2}}}}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + \sqrt{1 - 3 x^{2}}}}}{2}$$
Respuesta
[src]
____________________
___ / -1
-\/ 6 * / ------------------
/ __________
/ / 2
\/ C1 + \/ 1 - 3*x
y(x) = ----------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + \sqrt{1 - 3 x^{2}}}}}{2}$$
____________________
___ / -1
\/ 6 * / ------------------
/ __________
/ / 2
\/ C1 + \/ 1 - 3*x
y(x) = --------------------------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{6} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + \sqrt{1 - 3 x^{2}}}}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)