Ecuación diferencial 2*y''+4*y'+4*y=-4*cos(x)+sin(x)

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$2$$
Recibimos la ecuación:
$$2 y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - 2 \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 2$$
$$q = 2$$
$$s = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} + 2 \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 2 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = -1 - i$$
$$k_{2} = -1 + i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(-1 - i\right)} + C_{2} e^{x \left(-1 + i\right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-1 - i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-1 + i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - 2 \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 - i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(-1 + i\right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - 2 \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(-1 - i\right) e^{x \left(-1 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(-1 + i\right) e^{x \left(-1 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\sin{\left(x \right)}}{2} - 2 \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = i \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x + i x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = i \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x - i x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int i \left(\frac{\sin{\left(x \right)}}{4} - \cos{\left(x \right)}\right) e^{x + i x}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int i \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{4} + \cos{\left(x \right)}\right) e^{x - i x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + i \left(- \frac{e^{x} e^{i x} \sin{\left(x \right)}}{20} + \frac{7 i e^{x} e^{i x} \sin{\left(x \right)}}{20} - \frac{13 e^{x} e^{i x} \cos{\left(x \right)}}{20} + \frac{3 i e^{x} e^{i x} \cos{\left(x \right)}}{10}\right)$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + i \left(\frac{e^{x} e^{- i x} \sin{\left(x \right)}}{20} + \frac{7 i e^{x} e^{- i x} \sin{\left(x \right)}}{20} + \frac{13 e^{x} e^{- i x} \cos{\left(x \right)}}{20} + \frac{3 i e^{x} e^{- i x} \cos{\left(x \right)}}{10}\right)$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(-1 + i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} e^{- i x} + C_{4} e^{- x} e^{i x} - \frac{7 \sin{\left(x \right)}}{10} - \frac{3 \cos{\left(x \right)}}{5}$$
donde C3 y C4 hay son constantes