Ecuación diferencial xy^2(xy'+y)=a^2

Tenemos la ecuación:
$$- a^{2} + x \left(x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)}\right) y^{2}{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$- a^{2} + u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{u^{3}{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$- a^{2} + \frac{u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = a^{2} x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = \frac{1}{u^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$\frac{1}{u^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = a^{2} x$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx u^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} = a^{2} dx x$$
o
$$du u^{2}{\left(x \right)} = a^{2} dx x$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int u^{2}\, du = \int a^{2} x\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{u^{3}}{3} = Const + \frac{a^{2} x^{2}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 a^{2} x^{2}}{2}}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 a^{2} x^{2}}{2}}}{2}$$
$$\operatorname{u_{3}} = u{\left(x \right)} = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 a^{2} x^{2}}{2}}}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{\sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 a^{2} x^{2}}{2}}}{x}$$
$$y2 = y(x) = \frac{\left(-1 - \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 a^{2} x^{2}}{2}}}{2 x}$$
$$y3 = y(x) = \frac{\left(-1 + \sqrt{3} i\right) \sqrt[3]{C_{1} + \frac{3 a^{2} x^{2}}{2}}}{2 x}$$