Ecuación diferencial (1+tany)y'=(x^2)+1

Tenemos la ecuación:
$$\left(\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{1}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1}$$
obtendremos
$$\left(\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \left(\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = dx \left(x^{2} + 1\right)$$
o
$$dy \left(\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} + 1\right) = dx \left(x^{2} + 1\right)$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(\tan{\left(y \right)} + 1\right)\, dy = \int \left(x^{2} + 1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$y - \log{\left(\cos{\left(y \right)} \right)} = Const + \frac{x^{3}}{3} + x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = - \frac{x^{3}}{3} - x + y{\left(x \right)} - \log{\left(\cos{\left(y{\left(x \right)} \right)} \right)} = C_{1}$$