Sr Examen
Ecuación diferencial y''-4y'+5y=e^(2x)cosx+e^(2x)sinx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d d 2*x 2*x
- 4*--(y(x)) + 5*y(x) + ---(y(x)) = cos(x)*e + e *sin(x)
dx 2
dx
$$5 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
5*y - 4*y' + y'' = exp(2*x)*sin(x) + exp(2*x)*cos(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$5 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = -4$$
$$q = 5$$
$$s = - e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 2 - i$$
$$k_{2} = 2 + i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(2 - i\right)} + C_{2} e^{x \left(2 + i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(2 - i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(2 + i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(2 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 - i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 + i\right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(2 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 - i\right) e^{x \left(2 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(2 + i\right) e^{x \left(2 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} i e^{i x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} i e^{- i x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{2} i e^{i x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{2} i e^{- i x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\sqrt{2} x e^{- \frac{i \pi}{4}}}{4} + \frac{\sqrt{2} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{2 i x}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{2} i x e^{- \frac{i \pi}{4}}}{4} + \frac{\sqrt{2} i e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{- 2 i x}}{8}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} e^{- i x} + C_{4} e^{2 x} e^{i x} - \frac{\sqrt{2} i x e^{2 x} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{i x}}{4} - \frac{\sqrt{2} x e^{2 x} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{- i x}}{4} + \frac{\sqrt{2} e^{2 x} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{i x}}{8} + \frac{\sqrt{2} i e^{2 x} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{- i x}}{8}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$5 y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = -4$$
$$q = 5$$
$$s = - e^{2 x} \sin{\left(x \right)} - e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 4 k + 5 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = 2 - i$$
$$k_{2} = 2 + i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(2 - i\right)} + C_{2} e^{x \left(2 + i\right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + i\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(2 - i)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(2 + i)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(2 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 - i\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(2 + i\right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
o
$$e^{x \left(2 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(2 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(2 - i\right) e^{x \left(2 - i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(2 + i\right) e^{x \left(2 + i\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = e^{2 x} \sin{\left(x \right)} + e^{2 x} \cos{\left(x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{2} i e^{i x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{2} i e^{- i x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{\sqrt{2} i e^{i x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{\sqrt{2} i e^{- i x} \sin{\left(x + \frac{\pi}{4} \right)}}{2}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{\sqrt{2} x e^{- \frac{i \pi}{4}}}{4} + \frac{\sqrt{2} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{2 i x}}{8}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{\sqrt{2} i x e^{- \frac{i \pi}{4}}}{4} + \frac{\sqrt{2} i e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{- 2 i x}}{8}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 - i\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(2 + i\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{2 x} e^{- i x} + C_{4} e^{2 x} e^{i x} - \frac{\sqrt{2} i x e^{2 x} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{i x}}{4} - \frac{\sqrt{2} x e^{2 x} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{- i x}}{4} + \frac{\sqrt{2} e^{2 x} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{i x}}{8} + \frac{\sqrt{2} i e^{2 x} e^{- \frac{i \pi}{4}} e^{- i x}}{8}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
// x\ / x\ \ 2*x
y(x) = ||C1 - -|*cos(x) + |C2 + -|*sin(x)|*e
\\ 2/ \ 2/ /
$$y{\left(x \right)} = \left(\left(C_{1} - \frac{x}{2}\right) \cos{\left(x \right)} + \left(C_{2} + \frac{x}{2}\right) \sin{\left(x \right)}\right) e^{2 x}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral