Ecuación diferencial x^2*dy-(1/2)*y^3*dx=0

Tenemos la ecuación:
$$x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \frac{y^{3}{\left(x \right)}}{2} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{y^{3}{\left(x \right)}}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- \frac{y^{3}{\left(x \right)}}{2}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$
o
$$- \frac{2 dy}{y^{3}{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2}{y^{3}}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{x^{2}}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y^{2}} = Const + \frac{1}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \sqrt{- \frac{x}{C_{1} x - 1}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \sqrt{- \frac{x}{C_{1} x - 1}}$$