Ecuación diferencial 4y''-12y'+9y=e^(3x)

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$4$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{9 y{\left(x \right)}}{4} - 3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = -3$$
$$q = \frac{9}{4}$$
$$s = - \frac{e^{3 x}}{4}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} - 3 k + \frac{9}{4} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = \frac{3}{2}$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = \frac{3}{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{\frac{3 x}{2}} + C_{2} x e^{\frac{3 x}{2}}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{3 x}{2}} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{3 x}{2}}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(3*x/2) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(3*x/2) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{e^{3 x}}{4}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{\frac{3 x}{2}} = \frac{e^{3 x}}{4}$$
o
$$x e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(\frac{3 x e^{\frac{3 x}{2}}}{2} + e^{\frac{3 x}{2}}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{3 e^{\frac{3 x}{2}} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)}}{2} = \frac{e^{3 x}}{4}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - \frac{x e^{\frac{3 x}{2}}}{4}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{e^{\frac{3 x}{2}}}{4}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- \frac{x e^{\frac{3 x}{2}}}{4}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \frac{e^{\frac{3 x}{2}}}{4}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{\left(2 - 3 x\right) e^{\frac{3 x}{2}}}{18}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{e^{\frac{3 x}{2}}}{6}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{\frac{3 x}{2}} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{\frac{3 x}{2}}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{\frac{3 x}{2}} + C_{4} x e^{\frac{3 x}{2}} + \frac{e^{3 x}}{9}$$
donde C3 y C4 hay son constantes