Sr Examen
Ecuación diferencial 2*x*y'+y^2=1
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
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2 d
y (x) + 2*x*--(y(x)) = 1
dx
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 1$$
2*x*y' + y^2 = 1
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1 - y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$1 - y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{1}{2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx}{2 x}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx}{2 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2} - 1}\right)\, dy = \int \frac{1}{2 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y + 1 \right)}}{2} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + x}{- C_{1} + x}$$
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y^{2}{\left(x \right)} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{1}{2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1 - y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$1 - y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{1}{2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx}{2 x}$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)} - 1} = \frac{dx}{2 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2} - 1}\right)\, dy = \int \frac{1}{2 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(y - 1 \right)}}{2} + \frac{\log{\left(y + 1 \right)}}{2} = Const + \frac{\log{\left(x \right)}}{2}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1} + x}{- C_{1} + x}$$
Clasificación
separable
1st exact
separable reduced
lie group
separable Integral
1st exact Integral
separable reduced Integral