Ecuación diferencial 3^(x+y)y'-1=0

Tenemos la ecuación:
$$3^{x + y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x + y{\left(x \right)}$$
y porque
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + 1 = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 1$$
sustituimos
$$3^{x} 3^{- x + u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} \left(- x + u{\left(x \right)}\right) - 1 = 0$$
o
$$3^{u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 3^{u{\left(x \right)}} - 1 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = -1 - 3^{- u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$-1 - 3^{- u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{3^{u{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3^{u{\left(x \right)}} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{3^{u{\left(x \right)}} dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{3^{u{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{3^{u{\left(x \right)}} du}{3^{u{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{3^{u}}{3^{u} + 1}\right)\, du = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{\log{\left(3^{u} + 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} e^{x \log{\left(3 \right)}} - 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = - x + u{\left(x \right)}$$
$$y1 = y(x) = - x + \frac{\log{\left(C_{1} e^{x \log{\left(3 \right)}} - 1 \right)}}{\log{\left(3 \right)}}$$