Ecuación diferencial dy/cos^2y=e^-xdx

Tenemos la ecuación:
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = e^{- x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx e^{- x}$$
o
$$\frac{dy}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = dx e^{- x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int e^{- x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sin{\left(y \right)}}{\cos{\left(y \right)}} = Const - e^{- x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} e^{2 x} - 2 C_{1} e^{x} + e^{2 x} + 1} - e^{x}}{C_{1} e^{x} - 1} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - 2 \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt{C_{1}^{2} e^{2 x} - 2 C_{1} e^{x} + e^{2 x} + 1} + e^{x}}{C_{1} e^{x} - 1} \right)}$$