Ecuación diferencial (dy/(xdx))-(y^(2)cos(2/3))=0

Tenemos la ecuación:
$$- y^{2}{\left(x \right)} \cos{\left(\frac{2}{3} \right)} + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x \cos{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = x \cos{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx x \cos{\left(\frac{2}{3} \right)}$$
o
$$\frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx x \cos{\left(\frac{2}{3} \right)}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y^{2}}\, dy = \int x \cos{\left(\frac{2}{3} \right)}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{y} = Const + \frac{x^{2} \cos{\left(\frac{2}{3} \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{2}{C_{1} + x^{2} \cos{\left(\frac{2}{3} \right)}}$$