Sr Examen
Ecuación diferencial dy*e^(2*y)=dx/sin(x)^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2*y(x) 1
--(y(x))*e = -------
dx 2
sin (x)
$$e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
exp(2*y)*y' = sin(x)^(-2)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{- 2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{- 2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$- dy e^{2 y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{2 y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{e^{2 y}}{2} = Const + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \sqrt{C_{1} - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
$$e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - e^{- 2 y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- e^{- 2 y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx e^{2 y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$- dy e^{2 y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{\sin^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- e^{2 y}\right)\, dy = \int \left(- \frac{1}{\sin^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{e^{2 y}}{2} = Const + \frac{\cos{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(- \sqrt{C_{1} - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}} \right)}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
Respuesta
[src]
/ _____________\
| / 2 |
y(x) = log|- / C1 - ------ |
\ \/ tan(x) /
$$y{\left(x \right)} = \log{\left(- \sqrt{C_{1} - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}}} \right)}$$
/ 2 \
log|C1 - ------|
\ tan(x)/
y(x) = ----------------
2
$$y{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(C_{1} - \frac{2}{\tan{\left(x \right)}} \right)}}{2}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 13.866490436507384)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 4.3149409499051355e-61)
(7.777777777777779, 8.388243567354914e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)