Sr Examen
Ecuación diferencial xy'+(x+1)*y=0/3*x^(2)*e^(-x)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d x*--(y(x)) + (1 + x)*y(x) = 0 dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(x + 1\right) y{\left(x \right)} = 0$$
x*y' + (x + 1)*y = 0
Solución detallada
Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y':
$$x$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(x + 1\right) y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{x + 1}{x}\, dx = \left(x + \log{\left(x \right)}\right) + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1} - x}}{x}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2} - x}}{x}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C e^{- x}}{x}$$
$$x$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \left(x + 1\right) y{\left(x \right)}}{x} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y' + P(x)y = 0,
donde
$$P{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x}$$
y
y se llama lineal homogénea
ecuación diferencial de 1 orden:
Es una ecuación con variables separables.
Esta ecuación se resuelve con los pasos siguientes:
De y' + P(x)y = 0 obtenemos
$$\frac{dy}{y} = - P{\left(x \right)} dx$$, con y no igual a 0
$$\int \frac{1}{y}\, dy = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
$$\log{\left(\left|{y}\right| \right)} = - \int P{\left(x \right)}\, dx$$
O,
$$\left|{y}\right| = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
Por eso,
$$y_{1} = e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
$$y_{2} = - e^{- \int P{\left(x \right)}\, dx}$$
De la expresión se ve que hay que encontrar la integral:
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$
Como
$$P{\left(x \right)} = \frac{x + 1}{x}$$, entonces
$$\int P{\left(x \right)}\, dx$$ =
= $$\int \frac{x + 1}{x}\, dx = \left(x + \log{\left(x \right)}\right) + Const$$
Es decir, la solución de la ecuación lineal homogénea es:
$$y_{1} = \frac{e^{C_{1} - x}}{x}$$
$$y_{2} = - \frac{e^{C_{2} - x}}{x}$$
lo que corresponde a la solución
con cualquier constante C no igual a cero:
$$y = \frac{C e^{- x}}{x}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st linear
Bernoulli
almost linear
lie group
separable Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
almost linear Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.10449772429450396)
(-5.555555555555555, 0.015853897181935216)
(-3.333333333333333, 0.0028634268012882502)
(-1.1111111111111107, 0.0009309506389285907)
(1.1111111111111107, 98749.88323542464)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 2.125757255287192e+160)
(7.777777777777779, 8.388243566975285e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)