Sr Examen
Ecuación diferencial (sqrt(y)+sqrt(xy))y’=sqrt(y)-sqrt(xy)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
/ ________ ______\ d ______ ________
\\/ x*y(x) + \/ y(x) /*--(y(x)) = \/ y(x) - \/ x*y(x)
dx
$$\left(\sqrt{x y{\left(x \right)}} + \sqrt{y{\left(x \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sqrt{x y{\left(x \right)}} + \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
(sqrt(x*y) + sqrt(y))*y' = -sqrt(x*y) + sqrt(y)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\left(\sqrt{x} \sqrt{y{\left(x \right)}} + \sqrt{y{\left(x \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sqrt{x} \sqrt{y{\left(x \right)}} + \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = -1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$-1$$
obtendremos
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(\sqrt{x} - 1\right)}{\sqrt{x} + 1}$$
o
$$- dy = \frac{dx \left(\sqrt{x} - 1\right)}{\sqrt{x} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-1\right)\, dy = \int \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y = Const - 4 \sqrt{x} + x + 4 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} + 4 \sqrt{x} - x - 4 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$$
$$\left(\sqrt{x} \sqrt{y{\left(x \right)}} + \sqrt{y{\left(x \right)}}\right) \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \sqrt{x} \sqrt{y{\left(x \right)}} + \sqrt{y{\left(x \right)}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1 - \sqrt{x}}{\sqrt{x} + 1}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = -1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$-1$$
obtendremos
$$- \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(\sqrt{x} - 1\right)}{\sqrt{x} + 1}$$
o
$$- dy = \frac{dx \left(\sqrt{x} - 1\right)}{\sqrt{x} + 1}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-1\right)\, dy = \int \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} + 1}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y = Const - 4 \sqrt{x} + x + 4 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = 0$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = C_{1} + 4 \sqrt{x} - x - 4 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$$
Respuesta
[src]
y(x) = 0
$$y{\left(x \right)} = 0$$
___ / ___\ y(x) = C1 - x - 4*\/ x - 4*log\-1 + \/ x /
$$y{\left(x \right)} = C_{1} - 4 \sqrt{x} - x - 4 \log{\left(\sqrt{x} - 1 \right)}$$
/ ___\ ___ y(x) = C1 - x - 4*log\1 + \/ x / + 4*\/ x
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + 4 \sqrt{x} - x - 4 \log{\left(\sqrt{x} + 1 \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
nth algebraic
1st power series
lie group
nth algebraic Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)