Sr Examen
Ecuación diferencial y''+y=3sin(2t)+tcos(2t)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
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2 d ---(y(t)) + y(t) = 3*sin(2*t) + t*cos(2*t) 2 dt
$$y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
y + y'' = t*cos(2*t) + 3*sin(2*t)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 0$$
$$q = 1$$
$$s = - t \cos{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - i$$
$$k_{2} = i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(t \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(t \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(t \right)} + C_{2} \cos{\left(t \right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \sin{\left(t \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = sin(t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = cos(t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
o
$$\sin{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$- \sin{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \left(t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = - \left(t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}\right) \sin{\left(t \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(- \left(t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}\right) \sin{\left(t \right)}\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} - \frac{t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{3} + \frac{2 t \sin{\left(2 t \right)} \cos{\left(t \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(t \right)} \sin{\left(2 t \right)}}{9} - \frac{13 \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{9}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{2 t \sin{\left(t \right)} \sin{\left(2 t \right)}}{3} - \frac{t \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{3} + \frac{13 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{9} - \frac{5 \sin{\left(2 t \right)} \cos{\left(t \right)}}{9}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \sin{\left(t \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} \sin{\left(t \right)} + C_{4} \cos{\left(t \right)} - \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{3} - \frac{t \cos^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{3} - \frac{5 \sin^{2}{\left(t \right)} \sin{\left(2 t \right)}}{9} - \frac{5 \sin{\left(2 t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}}{9}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 0$$
$$q = 1$$
$$s = - t \cos{\left(2 t \right)} - 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - i$$
$$k_{2} = i$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
y las raíces tienen una forma exclusivamente imaginaria, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(t \left|{k_{1}}\right| \right)} + C_{2} \cos{\left(t \left|{k_{2}}\right| \right)}$$
$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(t \right)} + C_{2} \cos{\left(t \right)}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \sin{\left(t \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$$
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}$$
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = sin(t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = cos(t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$\sin{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \sin{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \cos{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
o
$$\sin{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0$$
$$- \sin{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \cos{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = \left(t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}$$
$$\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = - \left(t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}\right) \sin{\left(t \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}\right) \cos{\left(t \right)}\, dt$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int \left(- \left(t \cos{\left(2 t \right)} + 3 \sin{\left(2 t \right)}\right) \sin{\left(t \right)}\right)\, dt$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} - \frac{t \sin{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{3} + \frac{2 t \sin{\left(2 t \right)} \cos{\left(t \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(t \right)} \sin{\left(2 t \right)}}{9} - \frac{13 \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{9}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} - \frac{2 t \sin{\left(t \right)} \sin{\left(2 t \right)}}{3} - \frac{t \cos{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{3} + \frac{13 \sin{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{9} - \frac{5 \sin{\left(2 t \right)} \cos{\left(t \right)}}{9}$$
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
$$y{\left(t \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \sin{\left(t \right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \cos{\left(t \right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(t \right)} = C_{3} \sin{\left(t \right)} + C_{4} \cos{\left(t \right)} - \frac{t \sin^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{3} - \frac{t \cos^{2}{\left(t \right)} \cos{\left(2 t \right)}}{3} - \frac{5 \sin^{2}{\left(t \right)} \sin{\left(2 t \right)}}{9} - \frac{5 \sin{\left(2 t \right)} \cos^{2}{\left(t \right)}}{9}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
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5*sin(2*t) t*cos(2*t)
y(t) = - ---------- + C1*sin(t) + C2*cos(t) - ----------
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$$y{\left(t \right)} = C_{1} \sin{\left(t \right)} + C_{2} \cos{\left(t \right)} - \frac{t \cos{\left(2 t \right)}}{3} - \frac{5 \sin{\left(2 t \right)}}{9}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral