Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d t} x{\left(t \right)} = - a \left(- x_{1} + x{\left(t \right)}\right)$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(t \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(t \right)} = a$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = x_{1} - x{\left(t \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$x_{1} - x{\left(t \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x_{1} - x{\left(t \right)}} = a$$
Con esto hemos separado las variables t y x.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dt,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dt \frac{d}{d t} x{\left(t \right)}}{x_{1} - x{\left(t \right)}} = a dt$$
o
$$\frac{dx}{x_{1} - x{\left(t \right)}} = a dt$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por t.
$$\int \frac{1}{- x + x_{1}}\, dx = \int a\, dt$$
Solución detallada de la integral con xSolución detallada de la integral con tTomemos estas integrales
$$- \log{\left(x - x_{1} \right)} = Const + a t$$
Solución detallada de una ecuación simpleHemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(t \right)} = C_{1} e^{- a t} + x_{1}$$