Sr Examen
Ecuación diferencial dx*(21*x^2+16*x+8)-dy*(7*x^3+8*x^2+8*x)/y=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 d 3 d
8*x*--(y(x)) 8*x *--(y(x)) 7*x *--(y(x))
2 dx dx dx
8 + 16*x + 21*x - ------------ - ------------- - ------------- = 0
y(x) y(x) y(x)
$$- \frac{7 x^{3} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 21 x^{2} - \frac{8 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 16 x - \frac{8 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 8 = 0$$
-7*x^3*y'/y + 21*x^2 - 8*x^2*y'/y + 16*x - 8*x*y'/y + 8 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$- \frac{7 x^{3} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 21 x^{2} - \frac{8 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 16 x - \frac{8 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 8 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{21 x^{2} + 16 x + 8}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{21 x^{2} + 16 x + 8}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(21 x^{2} + 16 x + 8\right)}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(21 x^{2} + 16 x + 8\right)}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{21 x^{2} + 16 x + 8}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \log{\left(7 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)$$
$$- \frac{7 x^{3} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 21 x^{2} - \frac{8 x^{2} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 16 x - \frac{8 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} + 8 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{21 x^{2} + 16 x + 8}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{21 x^{2} + 16 x + 8}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(21 x^{2} + 16 x + 8\right)}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}$$
o
$$\frac{dy}{y{\left(x \right)}} = \frac{dx \left(21 x^{2} + 16 x + 8\right)}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{y}\, dy = \int \frac{21 x^{2} + 16 x + 8}{x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\log{\left(y \right)} = Const + \log{\left(7 x^{3} + 8 x^{2} + 8 x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)$$
Respuesta
[src]
/ 2 \ y(x) = C1*x*\8 + 7*x + 8*x/
$$y{\left(x \right)} = C_{1} x \left(7 x^{2} + 8 x + 8\right)$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
factorable
separable
1st exact
1st linear
Bernoulli
lie group
separable Integral
1st exact Integral
1st linear Integral
Bernoulli Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 0.34297266197234855)
(-5.555555555555555, 0.1191646355101769)
(-3.333333333333333, 0.023531493325104576)
(-1.1111111111111107, 0.001028806586475931)
(1.1111111111111107, -0.0033878535363633944)
(3.333333333333334, -0.04476291587407477)
(5.555555555555557, -0.17814080925731623)
(7.777777777777779, -0.4585659625167451)
(10.0, -0.9410828044830213)
(10.0, -0.9410828044830213)