Sr Examen
Ecuación diferencial dy/√y+dx=dx/√x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d
--(y(x))
dx 1
1 + -------- = -----
______ ___
\/ y(x) \/ x
$$1 + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
1 + y'/sqrt(y) = 1/sqrt(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$1 + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sqrt{y{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = dx \left(-1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = dx \left(-1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = \int \left(-1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{y} = Const + 2 \sqrt{x} - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} \sqrt{x} - \frac{C_{1} x}{2} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{4} + x$$
$$1 + \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = \frac{1}{\sqrt{x}}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \frac{1}{\sqrt{y{\left(x \right)}}}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1 + \frac{1}{\sqrt{x}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = dx \left(-1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{y{\left(x \right)}}} = dx \left(-1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{y}}\, dy = \int \left(-1 + \frac{1}{\sqrt{x}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$2 \sqrt{y} = Const + 2 \sqrt{x} - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} \sqrt{x} - \frac{C_{1} x}{2} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{4} + x$$
Respuesta
[src]
2 2
3/2 C1 x ___ C1*x
y(x) = x - x + --- + -- + C1*\/ x - ----
4 4 2
$$y{\left(x \right)} = \frac{C_{1}^{2}}{4} + C_{1} \sqrt{x} - \frac{C_{1} x}{2} - x^{\frac{3}{2}} + \frac{x^{2}}{4} + x$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)