Sr Examen
Ecuación diferencial y''+2y'+y=senx+3cos2x
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
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Solución
Ha introducido
[src]
2
d d
2*--(y(x)) + ---(y(x)) + y(x) = 3*cos(2*x) + sin(x)
dx 2
dx
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
y + 2*y' + y'' = sin(x) + 3*cos(2*x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$p = 2$$
$$q = 1$$
$$s = - \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = -1$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = -1$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{- x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(-x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$x e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- x e^{- x} + e^{- x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - x \left(\sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x \left(\sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{6 x e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{12 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{25} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{25}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{6 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} + C_{4} x e^{- x} + \frac{12 \sin{\left(2 x \right)}}{25} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 \cos{\left(2 x \right)}}{25}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
$$y{\left(x \right)} + 2 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
$$p = 2$$
$$q = 1$$
$$s = - \sin{\left(x \right)} - 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 2 k + 1 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = -1$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{1} x} C_{2} x$$
Sustituyamos $$k_{1} = -1$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{- x} + C_{2} x e^{- x}$$
Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(-x) (C1=1, C2=0),
y2(x) = x*exp(-x) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$x e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} x e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{- x} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
o
$$x e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} + e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- x e^{- x} + e^{- x}\right) \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} - e^{- x} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = - x \left(\sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \left(\sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \left(- x \left(\sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\right)\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(\sin{\left(x \right)} + 3 \cos{\left(2 x \right)}\right) e^{x}\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} - \frac{x e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} - \frac{6 x e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{x e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{3 x e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5} + \frac{12 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{25} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{25}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{2} + \frac{6 e^{x} \sin{\left(2 x \right)}}{5} - \frac{e^{x} \cos{\left(x \right)}}{2} + \frac{3 e^{x} \cos{\left(2 x \right)}}{5}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = x \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{- x} + \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- x} + C_{4} x e^{- x} + \frac{12 \sin{\left(2 x \right)}}{25} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 \cos{\left(2 x \right)}}{25}$$
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta
[src]
9*cos(2*x) cos(x) 12*sin(2*x) -x
y(x) = - ---------- - ------ + ----------- + (C1 + C2*x)*e
25 2 25
$$y{\left(x \right)} = \left(C_{1} + C_{2} x\right) e^{- x} + \frac{12 \sin{\left(2 x \right)}}{25} - \frac{\cos{\left(x \right)}}{2} - \frac{9 \cos{\left(2 x \right)}}{25}$$
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral