Sr Examen
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¿Cómo usar?
- Ecuación diferencial:
- Ecuación y'=2x/(x^2-7)^(1/3)
- Ecuación y''-2y-8y=0
- Ecuación y''+4y=sen(2x)+x
- Ecuación y"+y'-2y=0
- Integral de d{x}:
- ex
- Derivada de:
-
ex
- Gráfico de la función y =:
- ex
-
Expresiones idénticas
- senxy''+y=ex
- senxy dos signos de prima para el segundo (2) orden más y es igual a ex
-
Expresiones semejantes
- senxy''-y=ex
- y'''-2y''+y'=(e^x)*cos(2x)+x*sin(x)+e^x+(1-x)*e^(x)
- y'+16y=e^x
- (e^y+ye^x)dx+(e^x+xe^y)dy=0
-
Expresiones con funciones
- ex
- exdx
- exp(x)*y'=y^2*(1+exp(x))
- exp(4x)y'-exp(2x)y=1
- exp(y)*(1+x^2)dy-2*x*(1+exp(y))dx=0
- exp(x)y'=1
Ecuación diferencial senxy''+y=ex
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d x ---(y(x))*sin(x) + y(x) = e 2 dx
$$y{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
y + sin(x)*y'' = exp(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{- y{\left(x \right)} + e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = -1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$-1$$
obtendremos
$$- \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(y{\left(x \right)} - e^{x}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$
o
$$- dy' = \frac{dx \left(y{\left(x \right)} - e^{x}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-1\right)\, dy' = \int \frac{y{\left(x \right)} - e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y' = Const - \int \left(- \frac{y{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx - \int \frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} + \int \frac{- y{\left(x \right)} + e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} + \int \frac{- y{\left(x \right)} + e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} + \int \frac{- y{\left(x \right)} + e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx$$
$$y{\left(x \right)} + \sin{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = e^{x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{- y{\left(x \right)} + e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = -1$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$-1$$
obtendremos
$$- \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{y{\left(x \right)} - e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{dx \left(y{\left(x \right)} - e^{x}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$
o
$$- dy' = \frac{dx \left(y{\left(x \right)} - e^{x}\right)}{\sin{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(-1\right)\, dy' = \int \frac{y{\left(x \right)} - e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- y' = Const - \int \left(- \frac{y{\left(x \right)}}{\sin{\left(x \right)}}\right)\, dx - \int \frac{e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} + \int \frac{- y{\left(x \right)} + e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} + \int \frac{- y{\left(x \right)} + e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} + \int \frac{- y{\left(x \right)} + e^{x}}{\sin{\left(x \right)}}\, dx\right)\, dx$$