Sr Examen
Ecuación diferencial exp(x)*y'=y^2*(1+exp(x))
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d x 2 / x\ --(y(x))*e = y (x)*\1 + e / dx
$$e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(e^{x} + 1\right) y^{2}{\left(x \right)}$$
exp(x)*y' = (exp(x) + 1)*y^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(e^{x} + 1\right) y^{2}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = e^{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{x} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$e^{x}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(e^{x} + 1\right) y^{2}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = -1 - e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(-1 - e^{- x}\right)$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(-1 - e^{- x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2}}\right)\, dy = \int \left(-1 - e^{- x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y} = Const - x + e^{- x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{C_{1} e^{x} + x e^{x} - 1}$$
$$e^{x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(e^{x} + 1\right) y^{2}{\left(x \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = e^{x}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - e^{x} - 1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = - y^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$e^{x}$$
obtendremos
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \left(e^{x} + 1\right) y^{2}{\left(x \right)} e^{- x}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$- y^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = -1 - e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(-1 - e^{- x}\right)$$
o
$$- \frac{dy}{y^{2}{\left(x \right)}} = dx \left(-1 - e^{- x}\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y^{2}}\right)\, dy = \int \left(-1 - e^{- x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{y} = Const - x + e^{- x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{C_{1} e^{x} + x e^{x} - 1}$$
Respuesta
[src]
x
-e
y(x) = -----------------
x x
-1 + C1*e + x*e
$$y{\left(x \right)} = - \frac{e^{x}}{C_{1} e^{x} + x e^{x} - 1}$$
Clasificación
separable
Bernoulli
1st power series
lie group
separable Integral
Bernoulli Integral