Ecuación diferencial exp(y)(y'-1)=1

Tenemos la ecuación:
$$\left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 1\right) e^{y{\left(x \right)}} = 1$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = -1 - e^{- y{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$-1 - e^{- y{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx e^{y{\left(x \right)}} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$
o
$$- \frac{dy e^{y{\left(x \right)}}}{e^{y{\left(x \right)}} + 1} = - dx$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{e^{y}}{e^{y} + 1}\right)\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(e^{y} + 1 \right)} = Const - x$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \log{\left(C_{1} e^{x} - 1 \right)}$$