Sr Examen
Ecuación diferencial exp(2*x)*y'=x*(4*y-5)^(1/2)
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2*x _____________ --(y(x))*e = x*\/ -5 + 4*y(x) dx
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}$$
exp(2*x)*y' = x*sqrt(4*y - 5)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x e^{- 2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}} = x e^{- 2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}} = dx x e^{- 2 x}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}} = dx x e^{- 2 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 y - 5}}\, dy = \int x e^{- 2 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sqrt{4 y - 5}}{2} = Const + \frac{\left(- 2 x - 1\right) e^{- 2 x}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1}^{2} - C_{1} x e^{- 2 x} - \frac{C_{1} e^{- 2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{- 4 x}}{4} + \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16}$$
$$e^{2 x} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x \sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x e^{- 2 x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}} = x e^{- 2 x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}} = dx x e^{- 2 x}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{4 y{\left(x \right)} - 5}} = dx x e^{- 2 x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{4 y - 5}}\, dy = \int x e^{- 2 x}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\sqrt{4 y - 5}}{2} = Const + \frac{\left(- 2 x - 1\right) e^{- 2 x}}{4}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1}^{2} - C_{1} x e^{- 2 x} - \frac{C_{1} e^{- 2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{- 4 x}}{4} + \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16}$$
Respuesta
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-4*x -2*x -4*x 2 -4*x
5 2 e C1*e x*e x *e -2*x
y(x) = - + C1 + ----- - -------- + ------- + -------- - C1*x*e
4 16 2 4 4
$$y{\left(x \right)} = C_{1}^{2} - C_{1} x e^{- 2 x} - \frac{C_{1} e^{- 2 x}}{2} + \frac{x^{2} e^{- 4 x}}{4} + \frac{x e^{- 4 x}}{4} + \frac{5}{4} + \frac{e^{- 4 x}}{16}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, nan)
(-5.555555555555555, nan)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, nan)
(1.1111111111111107, nan)
(3.333333333333334, nan)
(5.555555555555557, nan)
(7.777777777777779, nan)
(10.0, nan)
(10.0, nan)