Ecuación diferencial cosxdy+ysinxdx=2

Tenemos la ecuación:
$$y \sin{\left(x{\left(y \right)} \right)} \frac{d}{d y} x{\left(y \right)} + \cos{\left(x{\left(y \right)} \right)} = 2$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(x)*x' = f2(x)*g2(x),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(y \right)} = - \frac{1}{y}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{2 - \cos{\left(x{\left(y \right)} \right)}}{\sin{\left(x{\left(y \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(x)/g2(x)*x'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(x)
$$- \frac{2 - \cos{\left(x{\left(y \right)} \right)}}{\sin{\left(x{\left(y \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\sin{\left(x{\left(y \right)} \right)} \frac{d}{d y} x{\left(y \right)}}{\cos{\left(x{\left(y \right)} \right)} - 2} = - \frac{1}{y}$$
Con esto hemos separado las variables y y x.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dy,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dy \sin{\left(x{\left(y \right)} \right)} \frac{d}{d y} x{\left(y \right)}}{\cos{\left(x{\left(y \right)} \right)} - 2} = - \frac{dy}{y}$$
o
$$\frac{dx \sin{\left(x{\left(y \right)} \right)}}{\cos{\left(x{\left(y \right)} \right)} - 2} = - \frac{dy}{y}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por x,
- de la parte derecha la integral por y.
$$\int \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos{\left(x \right)} - 2}\, dx = \int \left(- \frac{1}{y}\right)\, dy$$
Solución detallada de la integral con x
Solución detallada de la integral con y
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(\cos{\left(x \right)} - 2 \right)} = Const - \log{\left(y \right)}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica x.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{x_{1}} = x{\left(y \right)} = - \operatorname{acos}{\left(C_{1} y + 2 \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{x_{2}} = x{\left(y \right)} = \operatorname{acos}{\left(C_{1} y + 2 \right)}$$