Sr Examen
Ecuación diferencial (x+y−2)dx+(x−y−4)dy=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d d d
-2 + x - 4*--(y(x)) + x*--(y(x)) - --(y(x))*y(x) + y(x) = 0
dx dx dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 = 0$$
x*y' + x - y*y' + y - 4*y' - 2 = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)} - 4$$
y porque
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} - 4\right) + 2 x - \left(x - u{\left(x \right)} - 4\right) \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} - 4\right) - u{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} - 4\right) - 6 = 0$$
o
$$2 x - u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 6 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 3 - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{2}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} = 3 - x$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} = dx \left(3 - x\right)$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{2} = dx \left(3 - x\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = \int \left(3 - x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u^{2}}{4} = Const - \frac{x^{2}}{2} + 3 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x - u{\left(x \right)} - 4$$
$$y1 = y(x) = x + \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x} - 4$$
$$y2 = y(x) = x - \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x} - 4$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + x - y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 2 = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x - y{\left(x \right)} - 4$$
y porque
$$1 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 1 - \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} - 4\right) + 2 x - \left(x - u{\left(x \right)} - 4\right) \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} - 4\right) - u{\left(x \right)} - 4 \frac{d}{d x} \left(x - u{\left(x \right)} - 4\right) - 6 = 0$$
o
$$2 x - u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - 6 = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = 3 - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = - \frac{2}{u{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$- \frac{2}{u{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$- \frac{u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} = 3 - x$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx u{\left(x \right)} \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{2} = dx \left(3 - x\right)$$
o
$$- \frac{du u{\left(x \right)}}{2} = dx \left(3 - x\right)$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{u}{2}\right)\, du = \int \left(3 - x\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{u^{2}}{4} = Const - \frac{x^{2}}{2} + 3 x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = - \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x}$$
$$\operatorname{u_{2}} = u{\left(x \right)} = \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = x - u{\left(x \right)} - 4$$
$$y1 = y(x) = x + \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x} - 4$$
$$y2 = y(x) = x - \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x} - 4$$
Respuesta
[src]
__________________
/ 2
y(x) = -4 + x - \/ C1 - 12*x + 2*x
$$y{\left(x \right)} = x - \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x} - 4$$
__________________
/ 2
y(x) = -4 + x + \/ C1 - 12*x + 2*x
$$y{\left(x \right)} = x + \sqrt{C_{1} + 2 x^{2} - 12 x} - 4$$
Clasificación
1st exact
linear coefficients
1st power series
lie group
1st exact Integral
linear coefficients Integral