Sr Examen
Ecuación diferencial xy'+y=(y^2)lnx
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
d 2 x*--(y(x)) + y(x) = y (x)*log(x) dx
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}$$
x*y' + y = y^2*log(x)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
o
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{u} = Const - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{x}{C_{1} x + \log{\left(x \right)} + 1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{1}{C_{1} x + \log{\left(x \right)} + 1}$$
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - y^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
o
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{dx \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{u} = Const - \frac{\log{\left(x \right)}}{x} - \frac{1}{x}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{x}{C_{1} x + \log{\left(x \right)} + 1}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{1}{C_{1} x + \log{\left(x \right)} + 1}$$
Respuesta
[src]
1
y(x) = -----------------
1 + C1*x + log(x)
$$y{\left(x \right)} = \frac{1}{C_{1} x + \log{\left(x \right)} + 1}$$
Clasificación
Bernoulli
lie group
Bernoulli Integral