Sr Examen
Ecuación diferencial 2*x*y'*y''=(y')^2
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 2
d d /d \
2*x*--(y(x))*---(y(x)) = |--(y(x))|
dx 2 \dx /
dx
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
2*x*y'*y'' = y'^2
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{2 dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2}{y'}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \sqrt{x}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} \sqrt{x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{2 C_{1} x^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{2}$$
$$2 x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \left(\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\right)^{2}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{1}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = - \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$- \frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{2}$$
obtendremos
$$- \frac{2 \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{1}{x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{2 dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
o
$$- \frac{2 dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}} = - \frac{dx}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{2}{y'}\right)\, dy' = \int \left(- \frac{1}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- 2 \log{\left(y' \right)} = Const - \log{\left(x \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \sqrt{x}$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int C_{1} \sqrt{x}\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = \frac{2 C_{1} x^{\frac{3}{2}}}{3} + C_{2}$$
Clasificación
factorable
nth order reducible