Tenemos la ecuación:
y(t)−2dtdy(t)+dt2d2y(t)=tetEsta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,
donde
p=−2q=1s=−tetSe llama
lineal heterogéneaecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0
Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
q+(k2+kp)=0En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
k2−2k+1=0Solución detallada de una ecuación simple- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
k1=1Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
y(t)=ek1tC1+ek1tC2tSustituyamos
k1=1y(t)=C1et+C2tetHemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s
Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x
Y la solución general será:
y(t)=tC2(t)et+C1(t)etdonde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
y1(t)dtdC1(t)+y2(t)dtdC2(t)=0dtdC1(t)dtdy1(t)+dtdC2(t)dtdy2(t)=f(t)donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = t*exp(t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
f(t)=tetEs decir, el sistema tendrá la forma:
tetdtdC2(t)+etdtdC1(t)=0dtdtetdtdC2(t)+dtdC1(t)dtdet=teto
tetdtdC2(t)+etdtdC1(t)=0(tet+et)dtdC2(t)+etdtdC1(t)=tetResolvamos este sistema:
dtdC1(t)=−t2dtdC2(t)=t- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
C1(t)=C3+∫(−t2)dtC2(t)=C4+∫tdto
C1(t)=C3−3t3C2(t)=C4+2t2Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
y(t)=tC2(t)et+C1(t)etEntonces la respuesta definitiva es:
y(t)=C3et+C4tet+6t3etdonde C3 y C4 hay son constantes