Sr Examen

Ecuación diferencial y''-2y'+y=te^t

El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉

v

Para el problema de Cauchy:

y() =
y'() =
y''() =
y'''() =
y''''() =

Gráfico:

interior superior

Solución

Ha introducido [src]
                 2                    
    d           d                    t
- 2*--(y(t)) + ---(y(t)) + y(t) = t*e 
    dt           2                    
               dt                     
y(t)2ddty(t)+d2dt2y(t)=tety{\left(t \right)} - 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = t e^{t}
y - 2*y' + y'' = t*exp(t)
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
y(t)2ddty(t)+d2dt2y(t)=tety{\left(t \right)} - 2 \frac{d}{d t} y{\left(t \right)} + \frac{d^{2}}{d t^{2}} y{\left(t \right)} = t e^{t}
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
y'' + p*y' + q*y = s,

donde
p=2p = -2
q=1q = 1
s=tets = - t e^{t}
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente
y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
q+(k2+kp)=0q + \left(k^{2} + k p\right) = 0
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
k22k+1=0k^{2} - 2 k + 1 = 0
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
k1=1k_{1} = 1
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
y(t)=ek1tC1+ek1tC2ty{\left(t \right)} = e^{k_{1} t} C_{1} + e^{k_{1} t} C_{2} t
Sustituyamos k1=1k_{1} = 1
y(t)=C1et+C2tety{\left(t \right)} = C_{1} e^{t} + C_{2} t e^{t}

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea
y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
y(t)=tC2(t)et+C1(t)ety{\left(t \right)} = t \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t} + \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t}
donde C1(t) y C2(t)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
y1(t)ddtC1(t)+y2(t)ddtC2(t)=0\operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = 0
ddtC1(t)ddty1(t)+ddtC2(t)ddty2(t)=f(t)\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{1}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} \operatorname{y_{2}}{\left(t \right)} = f{\left(t \right)}
donde
y1(t) y y2(t) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(t) = exp(t) (C1=1, C2=0),
y2(t) = t*exp(t) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
f(t)=tetf{\left(t \right)} = t e^{t}
Es decir, el sistema tendrá la forma:
tetddtC2(t)+etddtC1(t)=0t e^{t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0
ddttetddtC2(t)+ddtC1(t)ddtet=tet\frac{d}{d t} t e^{t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} \frac{d}{d t} e^{t} = t e^{t}
o
tetddtC2(t)+etddtC1(t)=0t e^{t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = 0
(tet+et)ddtC2(t)+etddtC1(t)=tet\left(t e^{t} + e^{t}\right) \frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} + e^{t} \frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = t e^{t}
Resolvamos este sistema:
ddtC1(t)=t2\frac{d}{d t} \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = - t^{2}
ddtC2(t)=t\frac{d}{d t} \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = t
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
C1(t)=C3+(t2)dt\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} + \int \left(- t^{2}\right)\, dt
C2(t)=C4+tdt\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \int t\, dt
o
C1(t)=C3t33\operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} = C_{3} - \frac{t^{3}}{3}
C2(t)=C4+t22\operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} = C_{4} + \frac{t^{2}}{2}
Sustituyamos C1(t) y C2(t) hallados en
y(t)=tC2(t)et+C1(t)ety{\left(t \right)} = t \operatorname{C_{2}}{\left(t \right)} e^{t} + \operatorname{C_{1}}{\left(t \right)} e^{t}
Entonces la respuesta definitiva es:
y(t)=C3et+C4tet+t3et6y{\left(t \right)} = C_{3} e^{t} + C_{4} t e^{t} + \frac{t^{3} e^{t}}{6}
donde C3 y C4 hay son constantes
Respuesta [src]
       /       /      2\\   
       |       |     t ||  t
y(t) = |C1 + t*|C2 + --||*e 
       \       \     6 //   
y(t)=(C1+t(C2+t26))ety{\left(t \right)} = \left(C_{1} + t \left(C_{2} + \frac{t^{2}}{6}\right)\right) e^{t}
Clasificación
nth linear constant coeff undetermined coefficients
nth linear constant coeff variation of parameters
nth linear constant coeff variation of parameters Integral