Ecuación diferencial xy'-y*(2y*ln(x)-1)=0

Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - \left(2 y{\left(x \right)} \log{\left(x \right)} - 1\right) y{\left(x \right)} = 0$$
Sustituimos
$$u{\left(x \right)} = x y{\left(x \right)}$$
y porque
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
entonces
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = \frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{x} - \frac{u{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
sustituimos
$$x \frac{d}{d x} \frac{u{\left(x \right)}}{x} + \frac{u{\left(x \right)}}{x} - \frac{2 u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
o
$$\frac{d}{d x} u{\left(x \right)} - \frac{2 u^{2}{\left(x \right)} \log{\left(x \right)}}{x^{2}} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(u)*u' = f2(x)*g2(u),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(u \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(u \right)} = u^{2}{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(u)/g2(u)*u'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(u)
$$u^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
Con esto hemos separado las variables x y u.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} u{\left(x \right)}}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 dx \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$
o
$$\frac{du}{u^{2}{\left(x \right)}} = \frac{2 dx \log{\left(x \right)}}{x^{2}}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por u,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{u^{2}}\, du = \int \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x^{2}}\, dx$$
Solución detallada de la integral con u
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \frac{1}{u} = Const - \frac{2 \log{\left(x \right)}}{x} - \frac{2}{x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica u.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{u_{1}} = u{\left(x \right)} = \frac{x}{C_{1} x + 2 \log{\left(x \right)} + 2}$$
hacemos cambio inverso
$$y{\left(x \right)} = \frac{u{\left(x \right)}}{x}$$
$$y1 = y(x) = \frac{1}{C_{1} x + 2 \log{\left(x \right)} + 2}$$