Sr Examen
Ecuación diferencial ysinx+(cos^2xlny)y'=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
sin(x)*y(x) + cos (x)*--(y(x))*log(y(x)) = 0
dx
$$y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
y*sin(x) + log(y)*cos(x)^2*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\, dy = \int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}}}$$
$$y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)} + \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \cos^{2}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = \cos^{2}{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \sin{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$\cos^{2}{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$\frac{\log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
o
$$\frac{dy \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{y{\left(x \right)}} = - \frac{dx \sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\log{\left(y \right)}}{y}\, dy = \int \left(- \frac{\sin{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(x \right)}}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{\log{\left(y \right)}^{2}}{2} = Const - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}}}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}}}$$
Respuesta
[src]
_____________
___ / 1
-\/ 2 * / C1 - ------
\/ cos(x)
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{- \sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}}}$$
_____________
___ / 1
\/ 2 * / C1 - ------
\/ cos(x)
y(x) = e
$$y{\left(x \right)} = e^{\sqrt{2} \sqrt{C_{1} - \frac{1}{\cos{\left(x \right)}}}}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st power series
lie group
separable Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 1.000000012135175)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 6.971028255580836e+173)
(3.333333333333334, 3.1933833808213398e-248)
(5.555555555555557, 1.3953866364196653e-75)
(7.777777777777779, 8.38824356773708e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)