Sr Examen
Ecuación diferencial cos^2(y)x'+tan(y)y'=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d
cos (y(x)) + --(y(x))*tan(y(x)) = 0
dx
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
cos(y)^2 + tan(y)*y' = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx$$
o
$$\frac{dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(y \right)}} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)}$$
$$\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)} + \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = -1$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \frac{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\frac{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = -1$$
Con esto hemos separado las variables x y y.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx$$
o
$$\frac{dy \tan{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{\cos^{2}{\left(y{\left(x \right)} \right)}} = - dx$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{\tan{\left(y \right)}}{\cos^{2}{\left(y \right)}}\, dy = \int \left(-1\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$\frac{1}{2 \cos^{2}{\left(y \right)}} = Const - x$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)} + 2 \pi$$
$$\operatorname{y_{3}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)}$$
$$\operatorname{y_{4}} = y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)}$$
Respuesta
[src]
/ ________ \
| ___ / -1 |
|-\/ 2 * / ------ |
| \/ C1 + x |
y(x) = - acos|--------------------| + 2*pi
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)} + 2 \pi$$
/ ________\
| ___ / -1 |
|\/ 2 * / ------ |
| \/ C1 + x |
y(x) = - acos|------------------| + 2*pi
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = - \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)} + 2 \pi$$
/ ________ \
| ___ / -1 |
|-\/ 2 * / ------ |
| \/ C1 + x |
y(x) = acos|--------------------|
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(- \frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)}$$
/ ________\
| ___ / -1 |
|\/ 2 * / ------ |
| \/ C1 + x |
y(x) = acos|------------------|
\ 2 /
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{acos}{\left(\frac{\sqrt{2} \sqrt{- \frac{1}{C_{1} + x}}}{2} \right)}$$
Gráfico para el problema de Cauchy
Clasificación
separable
1st exact
1st power series
lie group
separable Integral
1st exact Integral
Respuesta numérica
[src]
(x, y):
(-10.0, 0.75)
(-7.777777777777778, 7.763729419426007e-10)
(-5.555555555555555, 2.17e-322)
(-3.333333333333333, nan)
(-1.1111111111111107, 2.78363573e-315)
(1.1111111111111107, 8.427456047434801e+197)
(3.333333333333334, 3.1933833808213433e-248)
(5.555555555555557, 1.7373559329555976e-47)
(7.777777777777779, 8.388243567336631e+296)
(10.0, 3.861029683e-315)
(10.0, 3.861029683e-315)