Ecuación diferencial 16y''+3y'+4y=4x

Dividamos las dos partes de la ecuación al factor de la derivada de y'':
$$16$$
Recibimos la ecuación:
$$\frac{y{\left(x \right)}}{4} + \frac{3 \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{16} + \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = \frac{x}{4}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = \frac{3}{16}$$
$$q = \frac{1}{4}$$
$$s = - \frac{x}{4}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + \frac{3 k}{16} + \frac{1}{4} = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
Raíces de esta ecuación:
$$k_{1} = - \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}$$
$$k_{2} = - \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}$$
Como la ecuación característica tiene dos raíces,
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(x \right)} = e^{k_{1} x} C_{1} + e^{k_{2} x} C_{2}$$
$$y{\left(x \right)} = C_{1} e^{x \left(- \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} + C_{2} e^{x \left(- \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)}$$
donde C1(x) y C2(x)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{1}}{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} \operatorname{y_{2}}{\left(x \right)} = f{\left(x \right)}$$
donde
y1(x) y y2(x) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(x) = exp(x*(-3/32 - sqrt(247)*i/32)) (C1=1, C2=0),
y2(x) = exp(x*(-3/32 + sqrt(247)*i/32)) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(x \right)} = \frac{x}{4}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$e^{x \left(- \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} + \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} \frac{d}{d x} e^{x \left(- \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} = \frac{x}{4}$$
o
$$e^{x \left(- \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + e^{x \left(- \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = 0$$
$$\left(- \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}\right) e^{x \left(- \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} + \left(- \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}\right) e^{x \left(- \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} \frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = \frac{x}{4}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = \frac{4 \sqrt{247} i x e^{\frac{x \left(3 + \sqrt{247} i\right)}{32}}}{247}$$
$$\frac{d}{d x} \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{4 \sqrt{247} i x e^{\frac{x \left(3 - \sqrt{247} i\right)}{32}}}{247}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \int \frac{4 \sqrt{247} i x e^{\frac{x \left(3 + \sqrt{247} i\right)}{32}}}{247}\, dx$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} + \int \left(- \frac{4 \sqrt{247} i x e^{\frac{x \left(3 - \sqrt{247} i\right)}{32}}}{247}\right)\, dx$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} = C_{3} + \frac{4 \sqrt{247} i \left(\frac{16 \sqrt{247} i x e^{\frac{3 x}{32}} e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{-119 + 3 \sqrt{247} i} + \frac{48 x e^{\frac{3 x}{32}} e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{-119 + 3 \sqrt{247} i} - \frac{512 e^{\frac{3 x}{32}} e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{-119 + 3 \sqrt{247} i}\right)}{247}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} = C_{4} - \frac{4 \sqrt{247} i \left(- \frac{48 x e^{\frac{3 x}{32}} e^{- \frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{119 + 3 \sqrt{247} i} + \frac{16 \sqrt{247} i x e^{\frac{3 x}{32}} e^{- \frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{119 + 3 \sqrt{247} i} + \frac{512 e^{\frac{3 x}{32}} e^{- \frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{119 + 3 \sqrt{247} i}\right)}{247}$$
Sustituyamos C1(x) y C2(x) hallados en
$$y{\left(x \right)} = \operatorname{C_{1}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{32} - \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)} + \operatorname{C_{2}}{\left(x \right)} e^{x \left(- \frac{3}{32} + \frac{\sqrt{247} i}{32}\right)}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(x \right)} = C_{3} e^{- \frac{3 x}{32}} e^{- \frac{\sqrt{247} i x}{32}} + C_{4} e^{- \frac{3 x}{32}} e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}} + \frac{192 \sqrt{247} i x}{247 \left(-119 + 3 \sqrt{247} i\right)} - \frac{64 x}{-119 + 3 \sqrt{247} i} + \frac{64 x e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{119 e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}} + 3 \sqrt{247} i e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}} + \frac{192 \sqrt{247} i x e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{247 \left(119 e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}} + 3 \sqrt{247} i e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}\right)} - \frac{2048 \sqrt{247} i}{247 \left(-119 + 3 \sqrt{247} i\right)} - \frac{2048 \sqrt{247} i e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}}{247 \left(119 e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}} + 3 \sqrt{247} i e^{\frac{\sqrt{247} i x}{32}}\right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes