Ecuación diferencial (4-y^2)^(1/2)x+y(1+x^2)y'=0

Tenemos la ecuación:
$$x \sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}} + \left(x^{2} + 1\right) y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = x^{2} + 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = y{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - x$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en f1(x)
$$x^{2} + 1$$
obtendremos
$$y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = - \frac{x \sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}}{x^{2} + 1}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{x}{x^{2} + 1}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx y{\left(x \right)} \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{x^{2} + 1}$$
o
$$\frac{dy y{\left(x \right)}}{\sqrt{4 - y^{2}{\left(x \right)}}} = - \frac{dx x}{x^{2} + 1}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{y}{\sqrt{4 - y^{2}}}\, dy = \int \left(- \frac{x}{x^{2} + 1}\right)\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$- \sqrt{4 - y^{2}} = Const - \frac{\log{\left(x^{2} + 1 \right)}}{2}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - \frac{\sqrt{- 4 C_{1}^{2} + 4 C_{1} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} + 16}}{2}$$
$$\operatorname{y_{2}} = y{\left(x \right)} = \frac{\sqrt{- 4 C_{1}^{2} + 4 C_{1} \log{\left(x^{2} + 1 \right)} - \log{\left(x^{2} + 1 \right)}^{2} + 16}}{2}$$