Ecuación diferencial y''+4y'+4y=4cos2t

Tenemos la ecuación:
$$4 y{\left(s \right)} + 4 \frac{d}{d s} y{\left(s \right)} + \frac{d^{2}}{d s^{2}} y{\left(s \right)} = 4 \cos{\left(2 t \right)}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

y'' + p*y' + q*y = s,

donde
$$p = 4$$
$$q = 4$$
$$s = - 4 \cos{\left(2 t \right)}$$
Se llama lineal heterogénea
ecuación diferencial de 2 orden con factores constantes.
No hay mucha dificultad en la resolución de esta ecuación
Primero resolvamos la ecuación lineal homogénea correspondiente

y'' + p*y' + q*y = 0

Primero hallemos las raíces de la ecuación característica
$$q + \left(k^{2} + k p\right) = 0$$
En nuestro caso la ecuación característica va a tener la forma:
$$k^{2} + 4 k + 4 = 0$$
Solución detallada de una ecuación simple
- es una ecuación cuadrática simple
La raíz de esta ecuación es:
$$k_{1} = -2$$
Como la raíz de la ecuación característica es única,
y no tiene una forma compleja, entonces
la solución de la ecuación diferencial correspondiente tiene la forma:
$$y{\left(s \right)} = e^{k_{1} s} C_{1} + e^{k_{1} s} C_{2} s$$
Sustituyamos $$k_{1} = -2$$
$$y{\left(s \right)} = C_{1} e^{- 2 s} + C_{2} s e^{- 2 s}$$

Hemos encontrado la solución de la ecuación homogénea correspondiente
Ahora hay que resolver nuestra ecuación heterogénea

y'' + p*y' + q*y = s

Usamos el método de variación de la constante arbitraria
Consideremos que C1 y C2 son funciones de x

Y la solución general será:
$$y{\left(s \right)} = s \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} e^{- 2 s} + \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} e^{- 2 s}$$
donde C1(s) y C2(s)
según el método de variación de constantes hallemos del sistema:
$$\operatorname{y_{1}}{\left(s \right)} \frac{d}{d s} \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} + \operatorname{y_{2}}{\left(s \right)} \frac{d}{d s} \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d s} \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} \frac{d}{d s} \operatorname{y_{1}}{\left(s \right)} + \frac{d}{d s} \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} \frac{d}{d s} \operatorname{y_{2}}{\left(s \right)} = f{\left(s \right)}$$
donde
y1(s) y y2(s) son soluciones parciales linealmente independientes de la ecuación diferencial lineal homogénea,
y1(s) = exp(-2*s) (C1=1, C2=0),
y2(s) = s*exp(-2*s) (C1=0, C2=1).
A es un término independiente f = - s, o
$$f{\left(s \right)} = 4 \cos{\left(2 t \right)}$$
Es decir, el sistema tendrá la forma:
$$s e^{- 2 s} \frac{d}{d s} \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} + e^{- 2 s} \frac{d}{d s} \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} = 0$$
$$\frac{d}{d s} s e^{- 2 s} \frac{d}{d s} \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} + \frac{d}{d s} \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} \frac{d}{d s} e^{- 2 s} = 4 \cos{\left(2 t \right)}$$
o
$$s e^{- 2 s} \frac{d}{d s} \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} + e^{- 2 s} \frac{d}{d s} \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} = 0$$
$$\left(- 2 s e^{- 2 s} + e^{- 2 s}\right) \frac{d}{d s} \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} - 2 e^{- 2 s} \frac{d}{d s} \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} = 4 \cos{\left(2 t \right)}$$
Resolvamos este sistema:
$$\frac{d}{d s} \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} = - 4 s e^{2 s} \cos{\left(2 t \right)}$$
$$\frac{d}{d s} \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} = 4 e^{2 s} \cos{\left(2 t \right)}$$
- son ecuaciones diferenciales simples, resolvámoslas
$$\operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} = C_{3} + \int \left(- 4 s e^{2 s} \cos{\left(2 t \right)}\right)\, ds$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} = C_{4} + \int 4 e^{2 s} \cos{\left(2 t \right)}\, ds$$
o
$$\operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} = C_{3} + \left(- 2 s \cos{\left(2 t \right)} + \cos{\left(2 t \right)}\right) e^{2 s}$$
$$\operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} = C_{4} + 2 e^{2 s} \cos{\left(2 t \right)}$$
Sustituyamos C1(s) y C2(s) hallados en
$$y{\left(s \right)} = s \operatorname{C_{2}}{\left(s \right)} e^{- 2 s} + \operatorname{C_{1}}{\left(s \right)} e^{- 2 s}$$
Entonces la respuesta definitiva es:
$$y{\left(s \right)} = C_{3} e^{- 2 s} + C_{4} s e^{- 2 s} + \cos{\left(2 t \right)}$$
donde C3 y C4 hay son constantes