Sr Examen
Ecuación diferencial ylny+xy"=0
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2
d
x*---(y(x)) + log(y(x))*y(x) = 0
2
dx
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
x*y'' + y*log(y) = 0
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y' ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - \frac{dx y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
o
$$dy' = - \frac{dx y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy' = \int \left(- \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y' = Const - \int \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} - \int \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} - \int \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} - \int \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx\right)\, dx$$
$$x \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)} = 0$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = - \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 1$$
En esta ecuación las variables x y y' ya están separadas.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} = - \frac{dx y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
o
$$dy' = - \frac{dx y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int 1\, dy' = \int \left(- \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\right)\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$y' = Const - \int \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} - \int \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} - \int \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{2} + \int \left(C_{1} - \int \frac{y{\left(x \right)} \log{\left(y{\left(x \right)} \right)}}{x}\, dx\right)\, dx$$