Ecuación diferencial y'=x^2*sqrt(25-y^2)/e^x

Tenemos la ecuación:
$$\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}} e^{- x}$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:

f1(x)*g1(y)*y' = f2(x)*g2(y),

donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = x^{2} e^{- x}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y \right)} = \sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
Pasemos la ecuación a la forma:

g1(y)/g2(y)*y'= f2(x)/f1(x).

Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y)
$$\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}$$
obtendremos
$$\frac{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = x^{2} e^{- x}$$
Con esto hemos separado las variables x y y.

Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$\frac{dx \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = dx x^{2} e^{- x}$$
o
$$\frac{dy}{\sqrt{25 - y^{2}{\left(x \right)}}} = dx x^{2} e^{- x}$$

Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y,
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \frac{1}{\sqrt{25 - y^{2}}}\, dy = \int x^{2} e^{- x}\, dx$$
Solución detallada de la integral con y
Solución detallada de la integral con x
Tomemos estas integrales
$$\operatorname{asin}{\left(\frac{y}{5} \right)} = Const + \left(- x^{2} - 2 x - 2\right) e^{- x}$$
Solución detallada de una ecuación simple
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y.
(Const - es una constante)

La solución:
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = - 5 \sin{\left(C_{1} + x^{2} e^{- x} + 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} \right)}$$