Sr Examen
Ecuación diferencial y''ctgx+y'=5
El profesor se sorprenderá mucho al ver tu solución correcta😉
⌨
Solución
Ha introducido
[src]
2 d d ---(y(x))*cot(x) + --(y(x)) = 5 2 dx dx
$$\cot{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 5$$
cot(x)*y'' + y' = 5
Solución detallada
Tenemos la ecuación:
$$\cot{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 5$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 5 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$5 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5} = \tan{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5} = dx \tan{\left(x \right)}$$
o
$$- \frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5} = dx \tan{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y' - 5}\right)\, dy' = \int \tan{\left(x \right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y' - 5 \right)} = Const - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \cos{\left(x \right)} + 5$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} \cos{\left(x \right)} + 5\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} + 5 x$$
$$\cot{\left(x \right)} \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)} + \frac{d}{d x} y{\left(x \right)} = 5$$
Esta ecuación diferencial tiene la forma:
f1(x)*g1(y')*y'' = f2(x)*g2(y'),
donde
$$\operatorname{f_{1}}{\left(x \right)} = 1$$
$$\operatorname{g_{1}}{\left(y' \right)} = 1$$
$$\operatorname{f_{2}}{\left(x \right)} = \tan{\left(x \right)}$$
$$\operatorname{g_{2}}{\left(y' \right)} = 5 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
Pasemos la ecuación a la forma:
g1(y')/g2(y')*y''= f2(x)/f1(x).
Dividamos ambos miembros de la ecuación en g2(y')
$$5 - \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}$$
obtendremos
$$- \frac{\frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5} = \tan{\left(x \right)}$$
Con esto hemos separado las variables x y y'.
Ahora multipliquemos las dos partes de la ecuación por dx,
entonces la ecuación será así
$$- \frac{dx \frac{d^{2}}{d x^{2}} y{\left(x \right)}}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5} = dx \tan{\left(x \right)}$$
o
$$- \frac{dy'}{\frac{d}{d x} y{\left(x \right)} - 5} = dx \tan{\left(x \right)}$$
Tomemos la integral de las dos partes de la ecuación:
- de la parte izquierda la integral por y',
- de la parte derecha la integral por x.
$$\int \left(- \frac{1}{y' - 5}\right)\, dy' = \int \tan{\left(x \right)}\, dx$$
Tomemos estas integrales
$$- \log{\left(y' - 5 \right)} = Const - \log{\left(\cos{\left(x \right)} \right)}$$
Hemos recibido una ecuación ordinaria con la incógnica y'.
(Const - es una constante)
La solución:
$$\operatorname{y'1} = \operatorname{y'}{\left(x \right)} = C_{1} \cos{\left(x \right)} + 5$$
tomemos estas integrales
$$\operatorname{y_{1}} = \int \frac{d}{d x} y{\left(x \right)}\, dx = \int \left(C_{1} \cos{\left(x \right)} + 5\right)\, dx$$ =
$$\operatorname{y_{1}} = y{\left(x \right)} = C_{1} \sin{\left(x \right)} + C_{2} + 5 x$$
Respuesta
[src]
y(x) = C1 + 5*x + C2*sin(x)
$$y{\left(x \right)} = C_{1} + C_{2} \sin{\left(x \right)} + 5 x$$
Clasificación
nth order reducible